消费者回扣的好处：抑制灰色市场的策略
0. 结论
- 回扣具有灰色市场震慑效应；
- 回扣对制造商有利，也可能对零售商有利；
- 部分取消回扣并不总是对制造商有利；
- 市场间的折扣泄露或者消费者低估的折扣并不总是对零售商有害；
回扣是一种不错的抑制灰色市场的策略；
1. 模型
模型参数
制造商：Manufacturer
市场：高低市场（H / L）
消费者购买意愿：0 < V_L < V_H
消费者意愿分布：[0,v_l] / [0, v_h]
消费者数量：标准化为1，因此，两个市场的消费者密度为\frac{1}{v_l}、\frac{1}{v_h}
简单模型
框架描述
- 高价市场H：制造商直接向消费者售卖产品；
- 低价市场L：委托单个零售商向消费者售卖产品；
- 灰色市场G：因为高价市场的消费者愿意出高价，因此L市场的零售商S更愿意将产品运到H市场售卖；
产品价值
- 高价市场H：V_H
- 低价市场L：V_L
- 灰色市场G：V_G = \theta * V_H，where \space 0 < \theta < 1
- 灰色市场售价折扣因子：\theta
简化假设：\frac{\theta^2}{4} v_h < v_1 < \theta v_h
【理解】上面这个式子保证了零售商不至于不转移产品，也不至于所有产品都被转移；
【小结论】上面的暂时跟已有的文献基本保持一致，本文的重点在于将针对消费者的折扣加入考虑，并将一些固定成本置为零
2. 两阶段的Stackelberg
第一阶段：
- 制造商同时设定高价市场H中的零售价p_h，以及低价市场L中的批发价w；
- 制造商给消费者每单位一个折扣\triangle，假设真实买家以近乎没有的赎回成本获得回扣（可以理解为价格歧视或者促销）；
- 制造商没有动机在高价市场提供折扣的动机，因为高价市场为直销渠道且不存在产品转移；
第二阶段：
- 零售商订购产品，制定低价市场L中的零售价格p_l；
- 如果盈利，零售商会将部分商品转移到市场G，制定灰色市场G的零售价格p_g；
- 每个潜在的消费者只会最多购买1单位的产品，并且之间没有交易；
模型对比：
- 不存在灰色市场、不存在折扣（制造商给消费者，在高价市场H）；
- 存在灰色市场、不存在折扣；
- 存在灰色市场、折扣；
3. 三个模型对比
3.0 Summary models
3.1 Benchmark: without grey market
- 低价市场需求：\frac{1}{v_l}(v_l - p_l )=1-\frac{p_l}{v_l}
- 高价市场需求：\frac{1}{v_h}(v_h - p_h )=1-\frac{p_h}{v_h}
- 零售商利润函数：\pi_r = (w-p_l)(1-\frac{p_l}{v_l})
- 制造商利润函数：\pi_m = w(1-\frac{p_l}{v_l})+p_h(1-\frac{p_h}{v_h})
得到均衡解：p_l=\frac{3}{4}v_l,p_h=\frac{1}{2}v_h,w=\frac{1}{2}p_l
如果制造商在低价市场加入对消费者的折扣\triangle，最后的均衡利润不变，均衡价格从原来的p_l=\frac{3v_l}{4}变为p_l=\frac{3v_l}{4}+\triangle，制造商的批发价格也会变成w=\frac{p_l}{2}+\triangle。这个结果说明两点，在没有灰色市场的情况下，对低价市场的消费者加入折扣，不影响消费者总剩余与制造商、零售商利润。
所以说，所有的折扣、活动都是消费者自我洗脑罢了，不要妄想资本家会给你淘这部分钱；
3.2 Grey market without rebates
零售商可自由在高价市场H中开设灰色市场，消费者根据效用大于0选择产品；
- 低价市场需求：D_l=\frac{1}{v_l}(v_l-p_l)=1-\frac{p_l}{v_l}
- 高价市场需求：D_h =\frac{1}{v_h}(v_h - \frac{p_h-p_g}{1-\theta})=1-\frac{p_h-p_g}{v_h(1-\theta)}
- 灰色市场需求：D_g=\frac{1}{v_h}(\frac{p_h-p_g}{1-\theta}-\frac{p_g}{\theta})=\frac{\theta p_h - p_g}{\theta(1-\theta)v_h}
- 零售商利润函数：\pi_r = (p_l - w)(1-\frac{p_l}{v_l})+(p_g - w){(1-\frac{p_h-p_g}{v_h(1-\theta)})}
- 制造商利润函数：\pi_m = (wD_l+wD_g+p_hD_h)
得到均衡解：p_l=\frac{v_l}{4}\frac{\theta(8-3\theta)v_h+4v_l}{\theta(2-\theta)v_h+2v_l}, p_h=\frac{v_h}{2}\frac{2\theta(1-\theta)v_h+(2+\theta)v_l}{\theta(2-\theta)v_h+2v_l}, p_g=\frac{\theta v_h}{2}\frac{\theta(1-\theta)v_h+3v_1}{\theta(2-\theta)v_h+2v_l}, w=\frac{1}{2}\frac{\theta(4-\theta)v_h v_l}{\theta(2-\theta)v_h+2v_l}。
结论：制造商会增加批发价，降低高价市场的市场价，零售商会提高低价市场的零售价；存在灰色市场时，低价市场的需求减少，高价市场的需求不变；制造商的利润总是会变少，而零售商的利润取决于v_l，如果v_l<=\frac{\theta(\sqrt{4-5\theta+\theta^2}-1+\theta)}{3}v_h，则零售商利润增加，反之减少；
从上面的结论可以看出，灰色市场的增加会使得制造商增加零售商的批发价来抵制这一行为，并且同时减少高价市场的售价；这也同样促使零售商增加低价市场的售价，同时降低灰色市场的售价；当低价市场的售价增加到一定程度时，零售商在低价市场遭受的损失会大于其在灰色市场获取的收入，此时零售商会亏损；因此，可以称为是“自相残杀”了。
上面的结论出现的原因是，制造商为主导，其决策仅基于自身的利润，而不是零售商的决策制定。因此零售商会创造一个看起来只会伤害自身利益的灰色市场，因为制造商可以通过高价市场定价以及批发价杠杆来保证自己的利益；
3.3 Grey market with rebates
前情提要：制造商给低价市场中的消费者提供折扣，在没有灰色市场的情况下，不会给消费者任何福利也不会增加任何一方的利润。
制造商仍然选择给低价市场的消费者增加折扣\triangle，此时只会改变低价市场L的需求：
- 低价市场需求：D_l=1-\frac{p_l-\triangle}{v_l}
- 零售商利润函数：\pi_r=(p_l-w)D_l+(p_g-w)D_g
- 制造商利润函数：\pi_m = (w-\triangle)D_l+wD_g+p_hD_h
得到均衡解：w=\frac{1}{2}\theta v_h,\space p_h=\frac{1}{2}v_h,\space \triangle=\frac{1}{2}(\theta v_h-v_l)。
结论：I. 消费者折扣可以有效组织灰色市场的出现，D_g < 0；II. 消费者折扣可以提升制造商的利润；III. 消费者折扣可以在v_l > \frac{\theta (\sqrt{4-5\theta+\theta^2}-1+\theta)}{3}v_h，提升零售商的利润；
注：以上结论 II、III 是跟存在灰色市场的情况下对比得到；
3.4 Conclusion
- 没有灰色市场：消费者折扣并不能获取更多的利润，也不能增加更多的消费者剩余，没有任何改变；
- 存在灰色市场：制造商采取价格杠杆制衡零售商只会损害自己的利润，零售商的利润增加与否跟v_l 、 \frac{\theta (\sqrt{4-5\theta+\theta^2}-1+\theta)}{3}v_h的相对大小有关系；
- 存在灰色市场与折扣：制造商采取价格折扣的方式可以增加自己的利润，原因是可以获取更大的批发价格，提升整体的销售价格，零售商的利润增加与否，取决于v_l 、 \frac{\theta (\sqrt{4-5\theta+\theta^2}-1+\theta)}{3}v_h的相对大小；
4. 扩展（Extensions）
在前面的模型中，只考虑了低价市场是由零售商出售，高价市场为直销。如果高价市场也为零售商代理售卖，又会如何？
此时第一阶段决策变为：制造商决定低价市场的批发价与高价市场的价格；
二阶段决策变为：两个零售商决策自己的进货量与各自市场的零售价；
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